sysdeps/ieee754/dbl-64/e_pow.c

   1 /*
   2  * IBM Accurate Mathematical Library
   3  * written by International Business Machines Corp.
   4  * Copyright (C) 2001-2013 Free Software Foundation, Inc.
   5  *
   6  * This program is free software; you can redistribute it and/or modify
   7  * it under the terms of the GNU Lesser General Public License as published by
   8  * the Free Software Foundation; either version 2.1 of the License, or
   9  * (at your option) any later version.
  10  *
  11  * This program is distributed in the hope that it will be useful,
  12  * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  13  * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  14  * GNU Lesser General Public License for more details.
  15  *
  16  * You should have received a copy of the GNU Lesser General Public License
  17  * along with this program; if not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
  18  */
  19 /***************************************************************************/
  20 /*  MODULE_NAME: upow.c                                                    */
  21 /*                                                                         */
  22 /*  FUNCTIONS: upow                                                        */
  23 /*             power1                                                      */
  24 /*             my_log2                                                     */
  25 /*             log1                                                        */
  26 /*             checkint                                                    */
  27 /* FILES NEEDED: dla.h endian.h mpa.h mydefs.h                             */
  28 /*               halfulp.c mpexp.c mplog.c slowexp.c slowpow.c mpa.c       */
  29 /*                          uexp.c  upow.c                                 */
  30 /*               root.tbl uexp.tbl upow.tbl                                */
  31 /* An ultimate power routine. Given two IEEE double machine numbers y,x    */
  32 /* it computes the correctly rounded (to nearest) value of x^y.            */
  33 /* Assumption: Machine arithmetic operations are performed in              */
  34 /* round to nearest mode of IEEE 754 standard.                             */
  35 /*                                                                         */
  36 /***************************************************************************/
  37 #include "endian.h"
  38 #include "upow.h"
  39 #include <dla.h>
  40 #include "mydefs.h"
  41 #include "MathLib.h"
  42 #include "upow.tbl"
  43 #include <math_private.h>
  44 #include <fenv.h>
  45
  46 #ifndef SECTION
  47 # define SECTION
  48 #endif
  49
  50 static const double huge = 1.0e300, tiny = 1.0e-300;
  51
  52 double __exp1(double x, double xx, double error);
  53 static double log1(double x, double *delta, double *error);
  54 static double my_log2(double x, double *delta, double *error);
  55 double __slowpow(double x, double y,double z);
  56 static double power1(double x, double y);
  57 static int checkint(double x);
  58
  59 /***************************************************************************/
  60 /* An ultimate power routine. Given two IEEE double machine numbers y,x    */
  61 /* it computes the correctly rounded (to nearest) value of X^y.            */
  62 /***************************************************************************/
  63 double
  64 SECTION
  65 __ieee754_pow(double x, double y) {
  66   double z,a,aa,error, t,a1,a2,y1,y2;
  67 #if 0
  68   double gor=1.0;
  69 #endif
  70   mynumber u,v;
  71   int k;
  72   int4 qx,qy;
  73   v.x=y;
  74   u.x=x;
  75   if (v.i[LOW_HALF] == 0) { /* of y */
  76     qx = u.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;
  77     /* Checking  if x is not too small to compute */
  78     if (((qx==0x7ff00000)&&(u.i[LOW_HALF]!=0))||(qx>0x7ff00000)) return NaNQ.x;
  79     if (y == 1.0) return x;
  80     if (y == 2.0) return x*x;
  81     if (y == -1.0) return 1.0/x;
  82     if (y == 0) return 1.0;
  83   }
  84   /* else */
  85   if(((u.i[HIGH_HALF]>0 && u.i[HIGH_HALF]<0x7ff00000)||        /* x>0 and not x->0 */
  86        (u.i[HIGH_HALF]==0 && u.i[LOW_HALF]!=0))  &&
  87                                       /*   2^-1023< x<= 2^-1023 * 0x1.0000ffffffff */
  88       (v.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff) < 0x4ff00000) {              /* if y<-1 or y>1   */
  89     double retval;
  90
  91     SET_RESTORE_ROUND (FE_TONEAREST);
  92
  93     /* Avoid internal underflow for tiny y.  The exact value of y does
  94        not matter if |y| <= 2**-64.  */
  95     if (ABS (y) < 0x1p-64)
  96       y = y < 0 ? -0x1p-64 : 0x1p-64;
  97     z = log1(x,&aa,&error);                                 /* x^y  =e^(y log (X)) */
  98     t = y*CN;
  99     y1 = t - (t-y);
 100     y2 = y - y1;
 101     t = z*CN;
 102     a1 = t - (t-z);
 103     a2 = (z - a1)+aa;
 104     a = y1*a1;
 105     aa = y2*a1 + y*a2;
 106     a1 = a+aa;
 107     a2 = (a-a1)+aa;
 108     error = error*ABS(y);
 109     t = __exp1(a1,a2,1.9e16*error);     /* return -10 or 0 if wasn't computed exactly */
 110     retval = (t>0)?t:power1(x,y);
 111
 112     return retval;
 113   }
 114
 115   if (x == 0) {
 116     if (((v.i[HIGH_HALF] & 0x7fffffff) == 0x7ff00000 && v.i[LOW_HALF] != 0)
 117         || (v.i[HIGH_HALF] & 0x7fffffff) > 0x7ff00000)
 118       return y;
 119     if (ABS(y) > 1.0e20) return (y>0)?0:1.0/0.0;
 120     k = checkint(y);
 121     if (k == -1)
 122       return y < 0 ? 1.0/x : x;
 123     else
 124       return y < 0 ? 1.0/0.0 : 0.0;                               /* return 0 */
 125   }
 126
 127   qx = u.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;  /*   no sign   */
 128   qy = v.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;  /*   no sign   */
 129
 130   if (qx >= 0x7ff00000 && (qx > 0x7ff00000 || u.i[LOW_HALF] != 0)) return NaNQ.x;
 131   if (qy >= 0x7ff00000 && (qy > 0x7ff00000 || v.i[LOW_HALF] != 0))
 132     return x == 1.0 ? 1.0 : NaNQ.x;
 133
 134   /* if x<0 */
 135   if (u.i[HIGH_HALF] < 0) {
 136     k = checkint(y);
 137     if (k==0) {
 138       if (qy == 0x7ff00000) {
 139         if (x == -1.0) return 1.0;
 140         else if (x > -1.0) return v.i[HIGH_HALF] < 0 ? INF.x : 0.0;
 141         else return v.i[HIGH_HALF] < 0 ? 0.0 : INF.x;
 142       }
 143       else if (qx == 0x7ff00000)
 144         return y < 0 ? 0.0 : INF.x;
 145       return NaNQ.x;                              /* y not integer and x<0 */
 146     }
 147     else if (qx == 0x7ff00000)
 148       {
 149         if (k < 0)
 150           return y < 0 ? nZERO.x : nINF.x;
 151         else
 152           return y < 0 ? 0.0 : INF.x;
 153       }
 154     return (k==1)?__ieee754_pow(-x,y):-__ieee754_pow(-x,y); /* if y even or odd */
 155   }
 156   /* x>0 */
 157
 158   if (qx == 0x7ff00000)                              /* x= 2^-0x3ff */
 159     {if (y == 0) return NaNQ.x;
 160     return (y>0)?x:0; }
 161
 162   if (qy > 0x45f00000 && qy < 0x7ff00000) {
 163     if (x == 1.0) return 1.0;
 164     if (y>0) return (x>1.0)?huge*huge:tiny*tiny;
 165     if (y<0) return (x<1.0)?huge*huge:tiny*tiny;
 166   }
 167
 168   if (x == 1.0) return 1.0;
 169   if (y>0) return (x>1.0)?INF.x:0;
 170   if (y<0) return (x<1.0)?INF.x:0;
 171   return 0;     /* unreachable, to make the compiler happy */
 172 }
 173 #ifndef __ieee754_pow
 174 strong_alias (__ieee754_pow, __pow_finite)
 175 #endif
 176
 177 /**************************************************************************/
 178 /* Computing x^y using more accurate but more slow log routine            */
 179 /**************************************************************************/
 180 static double
 181 SECTION
 182 power1(double x, double y) {
 183   double z,a,aa,error, t,a1,a2,y1,y2;
 184   z = my_log2(x,&aa,&error);
 185   t = y*CN;
 186   y1 = t - (t-y);
 187   y2 = y - y1;
 188   t = z*CN;
 189   a1 = t - (t-z);
 190   a2 = z - a1;
 191   a = y*z;
 192   aa = ((y1*a1-a)+y1*a2+y2*a1)+y2*a2+aa*y;
 193   a1 = a+aa;
 194   a2 = (a-a1)+aa;
 195   error = error*ABS(y);
 196   t = __exp1(a1,a2,1.9e16*error);
 197   return (t >= 0)?t:__slowpow(x,y,z);
 198 }
 199
 200 /****************************************************************************/
 201 /* Computing log(x) (x is left argument). The result is the returned double */
 202 /* + the parameter delta.                                                   */
 203 /* The result is bounded by error (rightmost argument)                      */
 204 /****************************************************************************/
 205 static double
 206 SECTION
 207 log1(double x, double *delta, double *error) {
 208   int i,j,m;
 209 #if 0
 210   int n;
 211 #endif
 212   double uu,vv,eps,nx,e,e1,e2,t,t1,t2,res,add=0;
 213 #if 0
 214   double cor;
 215 #endif
 216   mynumber u,v;
 217 #ifdef BIG_ENDI
 218   mynumber
 219 /**/ two52          = {{0x43300000, 0x00000000}}; /* 2**52         */
 220 #else
 221 #ifdef LITTLE_ENDI
 222   mynumber
 223 /**/ two52          = {{0x00000000, 0x43300000}}; /* 2**52         */
 224 #endif
 225 #endif
 226
 227   u.x = x;
 228   m = u.i[HIGH_HALF];
 229   *error = 0;
 230   *delta = 0;
 231   if (m < 0x00100000)             /*  1<x<2^-1007 */
 232     { x = x*t52.x; add = -52.0; u.x = x; m = u.i[HIGH_HALF];}
 233
 234   if ((m&0x000fffff) < 0x0006a09e)
 235     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3ff00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20); }
 236   else
 237     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3fe00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20)+1; }
 238
 239   v.x = u.x + bigu.x;
 240   uu = v.x - bigu.x;
 241   i = (v.i[LOW_HALF]&0x000003ff)<<2;
 242   if (two52.i[LOW_HALF] == 1023)         /* nx = 0              */
 243   {
 244       if (i > 1192 && i < 1208)          /* |x-1| < 1.5*2**-10  */
 245       {
 246           t = x - 1.0;
 247           t1 = (t+5.0e6)-5.0e6;
 248           t2 = t-t1;
 249           e1 = t - 0.5*t1*t1;
 250           e2 = t*t*t*(r3+t*(r4+t*(r5+t*(r6+t*(r7+t*r8)))))-0.5*t2*(t+t1);
 251           res = e1+e2;
 252           *error = 1.0e-21*ABS(t);
 253           *delta = (e1-res)+e2;
 254           return res;
 255       }                  /* |x-1| < 1.5*2**-10  */
 256       else
 257       {
 258           v.x = u.x*(ui.x[i]+ui.x[i+1])+bigv.x;
 259           vv = v.x-bigv.x;
 260           j = v.i[LOW_HALF]&0x0007ffff;
 261           j = j+j+j;
 262           eps = u.x - uu*vv;
 263           e1 = eps*ui.x[i];
 264           e2 = eps*(ui.x[i+1]+vj.x[j]*(ui.x[i]+ui.x[i+1]));
 265           e = e1+e2;
 266           e2 =  ((e1-e)+e2);
 267           t=ui.x[i+2]+vj.x[j+1];
 268           t1 = t+e;
 269           t2 = (((t-t1)+e)+(ui.x[i+3]+vj.x[j+2]))+e2+e*e*(p2+e*(p3+e*p4));
 270           res=t1+t2;
 271           *error = 1.0e-24;
 272           *delta = (t1-res)+t2;
 273           return res;
 274       }
 275   }   /* nx = 0 */
 276   else                            /* nx != 0   */
 277   {
 278       eps = u.x - uu;
 279       nx = (two52.x - two52e.x)+add;
 280       e1 = eps*ui.x[i];
 281       e2 = eps*ui.x[i+1];
 282       e=e1+e2;
 283       e2 = (e1-e)+e2;
 284       t=nx*ln2a.x+ui.x[i+2];
 285       t1=t+e;
 286       t2=(((t-t1)+e)+nx*ln2b.x+ui.x[i+3]+e2)+e*e*(q2+e*(q3+e*(q4+e*(q5+e*q6))));
 287       res = t1+t2;
 288       *error = 1.0e-21;
 289       *delta = (t1-res)+t2;
 290       return res;
 291   }                                /* nx != 0   */
 292 }
 293
 294 /****************************************************************************/
 295 /* More slow but more accurate routine of log                               */
 296 /* Computing log(x)(x is left argument).The result is return double + delta.*/
 297 /* The result is bounded by error (right argument)                           */
 298 /****************************************************************************/
 299 static double
 300 SECTION
 301 my_log2(double x, double *delta, double *error) {
 302   int i,j,m;
 303 #if 0
 304   int n;
 305 #endif
 306   double uu,vv,eps,nx,e,e1,e2,t,t1,t2,res,add=0;
 307 #if 0
 308   double cor;
 309 #endif
 310   double ou1,ou2,lu1,lu2,ov,lv1,lv2,a,a1,a2;
 311   double y,yy,z,zz,j1,j2,j7,j8;
 312 #ifndef DLA_FMS
 313   double j3,j4,j5,j6;
 314 #endif
 315   mynumber u,v;
 316 #ifdef BIG_ENDI
 317   mynumber
 318 /**/ two52          = {{0x43300000, 0x00000000}}; /* 2**52         */
 319 #else
 320 #ifdef LITTLE_ENDI
 321   mynumber
 322 /**/ two52          = {{0x00000000, 0x43300000}}; /* 2**52         */
 323 #endif
 324 #endif
 325
 326   u.x = x;
 327   m = u.i[HIGH_HALF];
 328   *error = 0;
 329   *delta = 0;
 330   add=0;
 331   if (m<0x00100000) {  /* x < 2^-1022 */
 332     x = x*t52.x;  add = -52.0; u.x = x; m = u.i[HIGH_HALF]; }
 333
 334   if ((m&0x000fffff) < 0x0006a09e)
 335     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3ff00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20); }
 336   else
 337     {u.i[HIGH_HALF] = (m&0x000fffff)|0x3fe00000; two52.i[LOW_HALF]=(m>>20)+1; }
 338
 339   v.x = u.x + bigu.x;
 340   uu = v.x - bigu.x;
 341   i = (v.i[LOW_HALF]&0x000003ff)<<2;
 342   /*------------------------------------- |x-1| < 2**-11-------------------------------  */
 343   if ((two52.i[LOW_HALF] == 1023)  && (i == 1200))
 344   {
 345       t = x - 1.0;
 346       EMULV(t,s3,y,yy,j1,j2,j3,j4,j5);
 347       ADD2(-0.5,0,y,yy,z,zz,j1,j2);
 348       MUL2(t,0,z,zz,y,yy,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8);
 349       MUL2(t,0,y,yy,z,zz,j1,j2,j3,j4,j5,j6,j7,j8);
 350
 351       e1 = t+z;
 352       e2 = (((t-e1)+z)+zz)+t*t*t*(ss3+t*(s4+t*(s5+t*(s6+t*(s7+t*s8)))));
 353       res = e1+e2;
 354       *error = 1.0e-25*ABS(t);
 355       *delta = (e1-res)+e2;
 356       return res;
 357   }
 358   /*----------------------------- |x-1| > 2**-11  --------------------------  */
 359   else
 360   {          /*Computing log(x) according to log table                        */
 361       nx = (two52.x - two52e.x)+add;
 362       ou1 = ui.x[i];
 363       ou2 = ui.x[i+1];
 364       lu1 = ui.x[i+2];
 365       lu2 = ui.x[i+3];
 366       v.x = u.x*(ou1+ou2)+bigv.x;
 367       vv = v.x-bigv.x;
 368       j = v.i[LOW_HALF]&0x0007ffff;
 369       j = j+j+j;
 370       eps = u.x - uu*vv;
 371       ov  = vj.x[j];
 372       lv1 = vj.x[j+1];
 373       lv2 = vj.x[j+2];
 374       a = (ou1+ou2)*(1.0+ov);
 375       a1 = (a+1.0e10)-1.0e10;
 376       a2 = a*(1.0-a1*uu*vv);
 377       e1 = eps*a1;
 378       e2 = eps*a2;
 379       e = e1+e2;
 380       e2 = (e1-e)+e2;
 381       t=nx*ln2a.x+lu1+lv1;
 382       t1 = t+e;
 383       t2 = (((t-t1)+e)+(lu2+lv2+nx*ln2b.x+e2))+e*e*(p2+e*(p3+e*p4));
 384       res=t1+t2;
 385       *error = 1.0e-27;
 386       *delta = (t1-res)+t2;
 387       return res;
 388   }
 389 }
 390
 391 /**********************************************************************/
 392 /* Routine receives a double x and checks if it is an integer. If not */
 393 /* it returns 0, else it returns 1 if even or -1 if odd.              */
 394 /**********************************************************************/
 395 static int
 396 SECTION
 397 checkint(double x) {
 398   union {int4 i[2]; double x;} u;
 399   int k,m,n;
 400 #if 0
 401   int l;
 402 #endif
 403   u.x = x;
 404   m = u.i[HIGH_HALF]&0x7fffffff;    /* no sign */
 405   if (m >= 0x7ff00000) return 0;    /*  x is +/-inf or NaN  */
 406   if (m >= 0x43400000) return 1;    /*  |x| >= 2**53   */
 407   if (m < 0x40000000) return 0;     /* |x| < 2,  can not be 0 or 1  */
 408   n = u.i[LOW_HALF];
 409   k = (m>>20)-1023;                 /*  1 <= k <= 52   */
 410   if (k == 52) return (n&1)? -1:1;  /* odd or even*/
 411   if (k>20) {
 412     if (n<<(k-20)) return 0;        /* if not integer */
 413     return (n<<(k-21))?-1:1;
 414   }
 415   if (n) return 0;                  /*if  not integer*/
 416   if (k == 20) return (m&1)? -1:1;
 417   if (m<<(k+12)) return 0;
 418   return (m<<(k+11))?-1:1;
 419 }